Diplomat Ahmet Naci Kenter ile Olga Cynthia'nın oğlu olarak 1932 yılında İstanbul'da dünyaya geldi. 1947'de Ankara Devlet Tiyatrosu çocuk bölümünde tiyatroya başladı. Ankara Devlet Konservatuvarı tiyatro bölümünde eğitim gördü, okulu 1955 yılında "yüksek derece" ile bitirdi ve Devlet Tiyatroları'ndan girdi.1959 yılında Devlet Tiyatroları'ndan ayrıldı. Yıldız Kenter ile birlikte İstanbul'a giderek Muhsin Ertuğrul ile çalıştı. Şükran Güngör ve Kâmran Yüce ile bu dönemde bir araya geldi. 1960-1961 yılları arasında Site Tiyatrosu'nu kurdular. 1962'de adını Kent Oyuncuları olarak değiştirdiler. İki kardeş ve Şükran Güngör, 1968'de İstanbul'da Kenter Tiyatrosu'nun binasının inşaatını tamamladılar. Tiyatroyu yapmaları için tüm paralarını ortaya koymaları, büyük bir turne ile Anadolu'yu gezmeleri ve bir koltuk satma kampanyası ile destek toplamaları gerekmişti. İngiliz Kültür Heyeti ve Rockefeller Vakfı'ndan burs alarak Amerika Birleşik Devletleri ve Birleşik Krallık'ta tiyatro araştırmaları yapan ve incelemelerde bulunan Kenter, İngiltere, Amerika Birleşik Devletleri, Fransa, Almanya, Yugoslavya, Kıbrıs gibi birçok ülkede sahneye çıktı. Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuvarı'ndan emekli olduktan sonra, Haliç Üniversitesi Konservatuvarı'nda tiyatro bölümünün yöneticiliğini ve Bakırköy Belediyesi Şehir Tiyatrosu'nun genel sanat yönetmenliğini yaptı. Müşfik Kenter, tiyatronun yanı sıra sinemada da oyunculuk yaptı. 2012 yılında vefat etmiştir.